中國數(shù)學(xué)的喜與憂

　　在漢朝，中國數(shù)學(xué)家已經(jīng)開始研究如何去解方程式，包括計算立方根，到宋朝時，已經(jīng)可以解多次方程，比西方早幾百年，但解決的方法是數(shù)字解，對方程的結(jié)構(gòu)沒有深入的了解。

　　一個最簡單的問題就是解二次方程：

　　X²+1=0

　　事實上，無論X是任何實數(shù)，方程的左邊總是大于零，所以這個方程式?jīng)]有實數(shù)的解，因此中國古代數(shù)學(xué)家不去討論這個方程式。

　　大約在四百多年前，西方數(shù)學(xué)家開始注意這個方程，文藝復(fù)興后的意大利數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)它跟解三次和四次方程有關(guān)。他們知道上述二次方程沒有實數(shù)解，就假設(shè)它還是有解，將這個想象中的解叫作虛數(shù)。

　　虛數(shù)的發(fā)現(xiàn)很了不起！有了虛數(shù)后，西方學(xué)者發(fā)現(xiàn)所有多項式都有解，而且解的數(shù)目剛好是多項式的次數(shù)。所以有了虛數(shù)后，多項式的理論才成為完美的理論。

　　完美的數(shù)學(xué)理論很快就得到無窮的應(yīng)用。事實上，后來物理學(xué)家和工程學(xué)家發(fā)現(xiàn)虛數(shù)是用來解釋所有波動現(xiàn)象最佳的方法，這包括音樂、流體和量子力學(xué)里面波動力學(xué)的種種現(xiàn)象。數(shù)論研究對象的重要部分是整數(shù)，但為了研究整數(shù)，我們不能避免地要大量用到復(fù)數(shù)的理論來幫忙。

　　在19世紀初葉，柯西和黎曼開始了復(fù)變函數(shù)的研究，將我們的眼界由一維推廣到二維，改變了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展。黎曼又引入了Zeta函數(shù)，發(fā)現(xiàn)了復(fù)函數(shù)的解析性質(zhì)可以給出整數(shù)中的質(zhì)數(shù)（prime number）的基本性質(zhì)。另一方面，他也因此開發(fā)了高維拓撲這個學(xué)科。由于復(fù)數(shù)的成功，數(shù)學(xué)家企圖將它推廣，制造新的數(shù)域，但很快就發(fā)現(xiàn)除非放棄一些條件，否則那是不可能的。但是哈密爾頓（William Rowan Hamilton）和凱利（Arthur Cayley）先生卻在放棄復(fù)數(shù)域中某些性質(zhì)后，引進四元數(shù)（quarterion）和八元數(shù)（Cayley numbers）這兩個新的數(shù)域。這些新的數(shù)域影響了狄拉克（Paul Dirac）在量子力學(xué)的構(gòu)想，創(chuàng)造了狄拉克方程。從這里可以看到數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家為了追求完美化而得到重要的結(jié)果。

　　愛因斯坦創(chuàng)造廣義相對論時，人類觀察到的宇宙空間實在不大，他卻得到數(shù)學(xué)家的大力幫助。在愛因斯坦完成廣義相對論后，外爾和很多科學(xué)家開始融合引力場理論和電磁場理論，外爾率先提出規(guī)范場的理論，經(jīng)過十年的掙扎，才將麥克斯韋的電磁理論看作和廣義相對論類似的規(guī)范場論，在物理學(xué)上，這是一個偉大的突破。二十多年以后，泡利（Wolfgang Pauli）、楊振寧和米爾斯將規(guī)范群推廣到非交換群后，完成了一般的規(guī)范場理論，成為近代物理學(xué)標準模型的基礎(chǔ)。

　　有趣的是，外爾說：假如理論和見到的現(xiàn)象有沖突，而這個理論漂亮而簡潔的時候，我寧愿相信理論。這個看法對規(guī)范場理論的發(fā)展有很大的幫助。在這里，我們又看到了文學(xué)家和科學(xué)家類似的地方。

　　將一個問題或現(xiàn)象完美化，然后，將完美化后的結(jié)果應(yīng)用到新的數(shù)學(xué)理論，來解釋新的現(xiàn)象，這是數(shù)學(xué)家的慣用手法，與文學(xué)家有很多相似的地方，只不過文學(xué)家用這種手法來表達他們的感情罷了。

　　在中國古代，很多傳說都是憑想象力，根據(jù)已知知識夸大地描述很多無法證明的事情。文學(xué)家為了欣賞現(xiàn)象或者舒解情懷而夸大，而完美化，但數(shù)學(xué)家卻為了了解現(xiàn)象而構(gòu)建完美的背景。有些時候，數(shù)學(xué)家花了幾千頁紙的理論將一些模糊不清的具體現(xiàn)象用極度抽象的方法去統(tǒng)一、描述、解釋。

　　這是值得驚喜的事：近代數(shù)學(xué)家在數(shù)學(xué)不同的分支取得巨大的成果，與文學(xué)家的手段極為類似。所以好的數(shù)學(xué)家最好有人文的訓(xùn)練，從變化多姿的人生和大自然中得到靈感來將科學(xué)和數(shù)學(xué)完美化，而不是禁錮自己的腳步和眼光，只跟著前人的著作，做少量的改進，就以為自己是一個大學(xué)者。

　　我們需要培養(yǎng)一些能望盡天涯路，又能衣帶漸寬終不悔的學(xué)者，這需要濃郁的文化和感情的背景。中國數(shù)學(xué)家太注重應(yīng)用，不在乎數(shù)學(xué)嚴格的推導(dǎo)，更不在乎數(shù)學(xué)的完美化。因此至明清時，中國數(shù)學(xué)家實在無法跟文藝復(fù)興的數(shù)學(xué)家相比。直到如今，除了少數(shù)兩三個大師外，中國數(shù)學(xué)家走的研究道路基本上還是蕭規(guī)曹隨。在創(chuàng)新的路上提不起勇氣，不敢走前人沒有走過的路。這一點與中國近幾十年來文藝教育不充足，對數(shù)理感情的培養(yǎng)不夠有關(guān)。

　　到今天，中國的理論科學(xué)家在原創(chuàng)性還是比不上世界最先進的水平，我想一個重要的原因是我們的科學(xué)家在人文的修養(yǎng)還是不夠，對自然界的真和美感情不夠豐富。

　　我們中華民族是一個富有感情和富有深度的民族。上述的文學(xué)家、詩人、小說家的作品，并不落后于世界！但是，我們的科學(xué)家對人文的修養(yǎng)卻不大注意，一些管理教育的官員們卻有很奇怪的教育政策，他們似乎認為語文和歷史的教育并不重要，轉(zhuǎn)而用一些淺顯而沒有深度的通識教育來代替這些重要的學(xué)問，大概他們以為國外注重通識教育的緣故吧。這種做法其實是舍本逐末。

　　坦白說，我還沒有看到過一個有水平的國家和城市不反復(fù)地去教導(dǎo)國民們本國或本地的歷史。我兩個孩子在美國一個小鎮(zhèn)讀書。他們在小學(xué)、中學(xué)，將美國三百年的事情念得滾瓜爛熟！因為這是美國文化的基礎(chǔ)。我敢說，不懂或是不熟習(xí)歷史的國民，必定會認為自己是無根的一代。一般來說，文化的根基比較膚淺的人容易受愚弄和誤導(dǎo)，因為他們看不清楚事情的前因后果。

　　史為明鏡，它不單指出古代偉人成功和失敗的原因，它也將千年來我們祖先留下來的感情傳給我們，我們?yōu)榍鼗蕽h武，唐宗宋祖創(chuàng)下的豐功偉績感到驕傲，為他們的子孫走錯的路而感嘆！中國五千年豐富的文化使我們充滿自信心！我們?yōu)槭裁床缓煤玫乩梦覀冏嫦攘艚o我們的遺產(chǎn)？

　　或許有人說，我不想做大科學(xué)家，所以不用這樣學(xué)。其實這并不矛盾。當(dāng)一個年輕人對自己要學(xué)習(xí)的學(xué)問懷有濃厚的感情后，學(xué)習(xí)任何學(xué)問都會變得輕而易舉。至于數(shù)學(xué)和語文并重，在先進國家一向是理所當(dāng)然的。美國比較好的大學(xué)招生時，都注重看待SAT中語文和數(shù)學(xué)部分。

　　除了考試以外，美國好的中學(xué)也鼓勵孩子多元化，盡量涉獵包括人文和數(shù)理的科目。美國有很多高質(zhì)量的科普雜志，銷量往往都在百萬本以上。而中國好的科普雜志不多，銷量也少得可憐，從這一點，就可以看到中西文化的差異，希望在未來能夠漸漸改進。

　　最后要指出，數(shù)理人文和所謂博雅教育（Liberal education）有著莫大關(guān)系。博雅教育的目標廣闊，既著眼于基礎(chǔ)知識、鑒古知今、推理分析，又能培養(yǎng)學(xué)生在藝術(shù)上的創(chuàng)造性，兼且對科學(xué)的概念和實驗的精準性有所了解，同時也強調(diào)因材施教，反對重復(fù)不斷的操練，防止出現(xiàn)過早學(xué)科化和專業(yè)化的潮流。

　　以培養(yǎng)專業(yè)人才為目標是許多名校的優(yōu)良傳統(tǒng)，但這絕非哈佛大學(xué)的使命。哈佛學(xué)子在專注于某門學(xué)問的同時，學(xué)校更希望他們成為一個事事關(guān)心、善于分析和獨立思考的人，畢業(yè)后有志貢獻于社會，并不斷學(xué)習(xí)。

　　美國名校的教育使得不少的學(xué)者跨越不同的領(lǐng)域而得到極大的成就。有些學(xué)生在本科時讀英文系，畢業(yè)后卻可以成功地創(chuàng)立高科技公司。當(dāng)代數(shù)學(xué)物理有極為杰出成就的威騰（Edward Witten）教授在本科時念歷史。這些例子在美國名校不勝枚舉，但在華人社會卻不多見。這應(yīng)當(dāng)歸功于美國博雅教育的結(jié)果，也就是數(shù)理人文并重的結(jié)果。

　　中國的教育始終離不開科舉的陰影，以考試取士，系統(tǒng)化的出題目，學(xué)生們對學(xué)問的興趣集中在解題上，科研的精神仍是學(xué)徒制，很難看到尋找真理的樂趣。西方博雅教育的精神確實能開闊我們的視野，激勵我們的感情，更能夠培養(yǎng)大學(xué)問的成長。我寫過一本叫作《大宇之形》的科普書，有些物理系教授也用來作為通識課本。多讀多看課本以外的書，對我們做學(xué)問，為人處世都會有大幫助。

　　好的文學(xué)詩詞發(fā)自作者內(nèi)心，而將人與人的關(guān)系、人對自然界的感受生動呈現(xiàn)出來。激情處，可以驚天地泣鬼神，而至于萬古長存不朽不滅！偉大的科學(xué)家不也是同樣地要找到自然界的真實和它永恒的美麗嗎？

　　丘成桐 當(dāng)代數(shù)學(xué)大師，現(xiàn)任哈佛大學(xué)講座教授，1971年師從陳省身在加州大學(xué)伯克利分校獲得博士學(xué)位。發(fā)展了強有力的偏微分方程技巧，使得微分幾何學(xué)產(chǎn)生了深刻的變革。解決了卡拉比（Calabi） 猜想、正質(zhì)量猜想等眾多難題，影響遍及理論物理和幾乎所有核心數(shù)學(xué)分支。年僅33歲就獲得代表數(shù)學(xué)界最高榮譽的菲爾茲獎（1982），此后獲得MacArthur天才獎（1985）、瑞典皇家科學(xué)院Crafoord獎（1994）、美國國家科學(xué)獎（1997）、沃爾夫獎（2010）等眾多大獎�，F(xiàn)為美國科學(xué)院院士、中國科學(xué)院和俄羅斯科學(xué)院的外籍院士。

　�。ū緢笥浾哧慁i整理，本文內(nèi)容與高等教育出版社出版的《數(shù)學(xué)的藝術(shù)》內(nèi)容有重合，已得到作者認同）